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火博hb体育:疫情防控,我们为生命护航(十)——数学防疫篇

  编者按:当疫病爆发时,大家都会有这样一些疑问:比如为什么接触过患病者的人需要被隔离?疫情爆发1个月后有多少人被感染?疫情的拐点什么时候能够到来?这些问题的答案,都有赖于数学的思维。且看数学家如何从数学模型的角度来做出预测和解读。

   今天推出熊丽和欧光琳老师合作的这篇文章告诉我们:数学的魅力和意义或许正在于用简单的科学语言来探究本质规律,尽可能获得最接近真实的精确数据,并用这些科学发现智慧地解决生活中遇到的各种问题,为我们的生活服务。其实数学不是只有公式,定理,考试题,而是人类理解世界的重要工具。原来数学如此重要。



防疫要有数学思维能力
数学是什么?

   对大多数人来说,数学是什么?数学是一串串冰冷的数字;是一道道僵化死板的公式;是永远让你怀疑自己智商的考试分数?数学是抽象而晦涩的,是与疫病完全不搭边的高冷的存在?

数学是什么?

   在数学家眼中,数学是什么?伽利略说:数学是上帝描写自然的语言;爱因斯坦说:纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律,这些概念和规律给了我们理解自然的钥匙。在数学家眼中,数学无所不能,是可以防控疫病的科学工具。

数学与防疫

当疫病爆发时,大家都会有这样一些疑问:比如为什么接触过患病者的人需要被隔离疫情爆发1个月后有多少人被感染?疫情的拐点什么时候能够到来?这些问题的答案,都有赖于数学的思维。



且看数学家如何运用数学模型来做出预测和解读。

伯努利疫病数学模型

用数学模型研究疫病的做法,最早可以追溯到18世纪初。那时候天花病毒正在肆虐欧洲,人们发现东方传入的人痘接种术似乎能够治愈这种疾。又趾笕杂泻芨叩乃劳雎,这引起了瑞士大数学家丹尼尔·伯努利的注意。他开始琢磨怎么用数学去描述天花的传播以及接种的功效。受限于时代,伯努利的想法比较朴素,他将人群分成感染者与未感染者,假定疾病治愈率与研究人群的年龄段相关,以此建立了数学方程。




   伯努利的模型类似于后来的SI模型,经过一番计算研究,伯努利得出结论:尽管有一定风险,人痘接种在统计上仍然能让人的寿命延长3年左右。

       

   虽然以现在的眼光看,伯努利的研究一点也不严谨,得出的结论也是显而易见的(接种疫苗有助于控制疾病传播),但伯努利是第一个尝试用数据和方程去分析疫病传播趋势、判断控制措施有效性的数学家,这种科学思维尤为珍贵,直到今天仍然是用数学方法研究疫病的最基本思想。

麦肯德里克SIR模型

100多年后的20世纪初,用数学模型研究疫病的方法(后来发展为一门叫“数理流行病学”的学科)迎来了飞速发展,这很大程度上要归功于苏格兰军医麦肯德里克和生物化学家威廉·克马克。






麦肯德里克曾在印度服役,当时印度鼠疫横行,夺去了数十万人的生命。麦肯德里克数学思维的方式,发现鼠疫的感染人数趋势和数学的某些函数曲线非常相像。他与生物化学家威廉·克马克合作,开始对鼠疫爆发的患病人数、患者生存天数等数据进行分析,最终提出了数理流行病学中里程碑式的模型:SIR模型。直到今天,绝大多数从数学角度分析疫病的研究都或多或少有这个模型的影子。





SIR模型示意图 | Perception Heallth


如何用SIR模型描述传染。

SIR模型的基本概念并不难,即使完全没学过数学也能看懂:

S代表Susceptible,易感者,也就是可能被传染但还没有感染的人;

I代表Infected,感染者,即已经被传染但尚未死亡的人;

R代表Removed,移除者,他们有可能被感染后痊愈了,也有可能是因病死亡。

当然还有一个样本人数不变的假设,也就是易感者+感染者+移除者的人数之和假定不变。


有了这样一个数学模型,我们需要研究三个群体随时间的变化趋势——比如说,第1天有了3个感染者,到了第10天会有多少人感染?因痊愈或死亡产生的移除者又会有多少个?

        为了求出不同人群与时间的关系式,数学家引入了一组微分方程。它看起来很复杂,但这个唬人的玩意儿本质上和解“2+x=4”是一个道理,数学家的任务就是解出这个复杂方程里的S、I、R与时间t的关系函数。





SIR模型示意图 |模型的数学方程


微分方程解出来的结果不一定能用数学式子来表示,一般来说我们更习惯用下面这样的图像表示SIR模型的传染趋势:横轴代表时间,纵轴代表群体的人数。你可以很直观的看到,I代表的感染者数量随时间迅速增长,S代表的易感者相应变少,最后的结果是大部分被“移除”了(可能是治愈或者是病死),不再存在感染者。





SIR模型给出的传播趋势


SIR模型衍生出了SEIR、C-SEIR等多个变种模型,从而能更为精确地描述传染病的传播趋势。像SARS和最近的新型冠状病毒,用SEIR模型来描述它们的传播会更准确一些。




SEIR模型图示 E代表潜伏者

数学建模对防疫的作用

数学建模的作用:说到底,我们为什么要想方设法找到准确的数学模型来描述疫病呢?最重要的一个原因是,我们希望以此定量评估可能的感染人数和感染速度,并且分析出更为有效的防疫治疫措施。


在家隔离,是大家近来最熟悉的防疫措施,怎样用数学模型证明隔离能有效控制疫情传播呢?不妨假设有一个1000人的群体,其中有一个人不幸感染病毒后开始传播。在COSMOL等仿真软件里输入SIR模型的数学方程,可以得到下图的结果:未感染病毒的人数(蓝色曲线)不断下降,疫情在第五天达到顶峰,感染者数量(绿色曲线)达到总人数将近一半。





SIR模型对病毒传播的模拟结果

   

   然而,如果对80%的感染者采取隔离措施,也就是视为不再感染其他人的移除者(红色曲线),得到的疫情趋势图会发生很明显的变化——疫情在第六天达到顶峰,感染者的数量只会有不到200人,出现了大幅下降,这也就从数学角度证明了乖乖宅在家里对于控制疫病的重要性。

数学建模对疾病控制的评估

数学模型也能对不同的疾病控制措施的效果进行评估。2013年埃博拉疫情在非洲爆发,英国开始对来自高风险国家的入境人员进行筛查。然而有团队在建立数学模型后发现,只有7%的埃博拉感染者可能在国家边境被发现,加上病毒潜伏期也比较长,病毒携带者初期可能并没有表现出任何症状,最有效的措施还是在病毒发源地对感染者(以及疑似感染者)进行隔离来遏制病毒传播。正是通过这样的方式,数学模型在遏制疫病传播起到了越来越重要的作用。

数学的重要性

在疫病面前,数学家们不用穿着厚厚的隔离服,也不用和病毒零距离接触。他们只要坐在电脑前面,设计一个精确的数学模型,就能将疫病的去向摸得一清二楚!

 

数学的魅力和意义或许正在于用简单的科学语言来探究本质规律,尽可能获得最接近真实的精确数据,并用这些科学发现智慧地解决生活中遇到的各种问题,为我们的生活服务。


其实数学不是只有公式,定理,考试题,而是人类理解世界的重要工具。原来数学如此重要。

下面选几道与新冠疫情相关的数学题,看看你会做吗?(答案附后)


[答案]

1.D    2.A    3.B

4.(1)2   4707   (2)26   27

5. [答案] (1) 由题意可得: y= 60x+100?(10-x) +35?(6-x) .

+70?(x-2) = 1070- 5x (2≤x6);

(2) (1) 的函数可知,k= -5<0,

因此函数的值随x的增大而减。

x=6时,有最小值y= 1070- 5x6= 1040.

因此当从汶川调运6吨到马尔康时,运费最低,为1040 .

    原来,数学是一串串灵动的精灵,是一道道生命的密码,是保护人们健康的盾牌铠甲,是与我们生活息息相关的提智促质的智慧的存在……


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